Предел монотонной функции от натурального аргумента

Теоремы о существовании пределов функций, которые приводились до сих пор, имели такой характер: в предположении, что для одних функций пределы существуют, устанавливалось существование пределов для других функций, так или иначе связанных с первыми. Вопрос о признаках существования конечного предела для заданной функции, безотносительно к другим функциям, не ставился. Оставляя решение этого вопроса в общем виде до § 4, мы рассмотрим здесь один простой и важный частный класс функций, для которых он решается легко, причем, как всегда, начнем с простейшего случая – функции xn от натурального аргумента.

Переменная xn называется возрастающей, если

x1< x2<…< xn< xn+1<…,

т.е. если n`>n из следует xn` > xn. Ее называют неубывающей, если

x1≤ x2≤…≤ xn≤xn+1≤…,

т.е. если из n` >n следует лишь xn` ≥ xn . Можно и в последнем случае называть переменную возрастающей, если придать этому термину более широкий смысл.

Аналогично устанавливается понятие об убывающей – в узком или широком смысле слова – функции от n: так называется переменная xn, для которой соответственно

x1> x2>…> xn> xn+1>…,

или

x1≥ x2≥…≥ xn≥xn+1≥…,

так что из n` >n следует (смотря по случаю) xn` < xn или лишь xn` ≤ xn .

Переменные всех этих типов, изменяющиеся при возрастании n в одном направлении, объединяются под общим названием монотонных.

Обычно о переменной этого типа говорят, что она «монотонно возрастает» или «монотонно убывает».

Одновременно с переменной xn, зависящей от натурального указателя, и последовательность

x1, x2, x3, …, xn, …

принимаемых ею значений – в соответствующих случаях – также называется возрастающей или убывающей.

По отношению к монотонным переменным имеет место следующая

Теорема. Пусть дана монотонно возрастающая переменная xn. Если она ограничена сверху:

xn ≤ М (М=const; n=1, 2, 3, …),

то необходимо имеет конечный предел, в противном же случае она стремится к + ∞.

Точно так же всегда имеет предел и монотонно убывающая переменная xn . Ее предел конечен, если она ограничена снизу, в противном случае ее пределом служит — ∞*).

Доказательство. Ограничимся случаем возрастающей, хотя бы в широком смысле, переменной xn (случай убывающей переменной исчерпывается аналогично).

Допустим сначала, что эта переменная ограничена сверху. Тогда по теореме n°6, для множества {xn} ее значений должна существовать и (конечная) точная верхняя граница:

а = sup {xn};

как мы покажем, именно это число и будет пределом переменной xn.

Действительно, вспомним характерные свойства точной верхней границы [6]. Во-первых, для всех значений n будет

xn ≤ а.

Во-вторых, какое бы ни взять число ε > 0, найдется такое значение, скажем, нашей переменной xN, которое превзойдет аε:

xN > аε .

Так как, ввиду монотонности переменной xn (здесь мы впервые на это опираемся), при n > N будет xn ≥ xN, т.е. и подавно xn > аε , то для этих значений номера n выполняются неравенства

0 ≤ а xn < ε , так что | xn- а | < ε,

откуда и следует, что lim xn = а.

Пусть теперь переменная xn не ограничена сверху. Тогда, сколь велико ни было бы число Е > 0, найдется хоть одно значение переменной, которое больше Е; пусть это будет xN : xN >Е. Ввиду монотонности для переменной xn для n > N и подавно

xn > Е,

а это и означает, что lim xn = + ∞.

Замечание. Наличие конечного предела у ограниченной монотонной переменной в первой половине прошлого века считалось чем-то само собой разумеющимся. Потребность в строгом доказательстве этого – фундаментальной важности – утверждения была фактически одним из поводов к созданию арифметической теории иррациональных чисел. Добавим, что упомянутое утверждение вполне эквивалентно свойству непрерывности множества вещественных чисел [n°5].

Комментирование закрыто.

Вверх страницы
Statistical data collected by Statpress SEOlution (blogcraft).
->